Hipérbola
Definición
Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la resta de sus distancias a dos puntos fijos (Focos F y F') es constante en valor absoluto.
|d(P, F) - d(P, F')| = cte
a² = c² - b²
- Si P es un punto de la elipse, se cumple: |FP - F'P| = 2a
- Focos: F y F'
- Vértices: A, A'
- Distancia AA' = 2a
- Distancias: OF = OF' = c
- OA = a
- Distancia Focal: FF' = 2c
Excentricidad
La excentricidad de una hipérbola es la razón entre su distancia focal y la distancia entre vértices. Su valor es mayor que 1.
- Cuanto más baja, la hipérbola es más parecida a una recta partida (perpendicular al eje desde los focos).
- Cuanto más alta, la hipérbola es más abierta. En el infinito, vuelve a tender a dos rectas paralelas al eje.
e = c/a
- e = 1: Rectas partidas (asíntotas cerradas)
- e > 1: Curvas abiertas
- e → ∞: Rectas paralelas al eje por los focos
Hipérbola horizontal o vertical con centro en el origen
Caso horizontal: Centro O (0, 0) y focos F(c, 0) y F'(-c, 0)
x²/a² - y²/b² = 1
- Eje real: horizontal
- Focos: F(c, 0) y F'(-c, 0)
- Vértices: V(a, 0) y V'(-a, 0)
Ecuación asíntotas:
y = ± bx/a
- Recordar: b² = c² - a²
- Eje imaginario: x = 0
- Eje real: y = 0
Caso vertical: Centro O (0, 0) y focos F(0, c) y F'(0, -c):
y²/a² - x²/b² = 1
- Eje real: vertical
- Focos: F(0, c) y F'(0, -c)
- Vértices: V(0, a) y V'(0, -a)
Ecuación asíntotas:
x = ± by/a
- Recordar: b² = c² - a²
- Eje imaginario: y = 0
- Eje real: x = 0
Hipérbola horizontal o vertical con centro C (h, k)
Caso horizontal: Centro C (h, k) y focos F(h + c, k) y F'(h - c, k)
(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1
- Eje real: horizontal
- Focos: F(h + c, k) y F'(h - c, k)
- Vértices: V(h+a, k) y V'(h-a, k)
Ecuación asíntotas:
y - k = ± b(x - h)/a
- Recordar: b² = c² - a²
- Eje imaginario: x = h
- Eje real: y = k
Caso vertical: Centro C (h, k) y focos F(h, k + c) y F'(h, k - c)
(y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1
- Eje real: vertical
- Focos: F(h, k + c) y F'(h, k - c)
- Vértices: V(h, k+a) y V'(h, k-a)
Ecuación asíntotas:
x - h = ± b(y - k)/a
- Recordar: b² = c² - a²
- Eje imaginario: y = k
- Eje real: x = h